Niven [1] （1ページの論文!）による， $\pi$ が無理数であることのシンプルな証明を紹介します． 無理数 （むりすう、 英: irrational number ）とは、 有理数 ではない 実数 、つまり 整数 の 比 （ 英: ratio ）（ 分数 ）で表すことのできない実数のことである。 実数は 非可算個 で有理数は 可算 個であるから、無理数は非可算個あり、 ほとんど全ての 実数は無理数である。 無理数という語は、何かが「無理である数」という意味に受け取れるため、語義的に「無比数」と訳すべきだったという意見もある [1] [2] [3] （ 有理数#用語の由来 も参照）。 √ 2 は無理数である。 無理数の例 以下の実数は無理数である。 平方数 を除く 平方根 （ 、 など） 整数 N の m 乗根 （ただし、 m は 1 より大きい整数、 N は m 乗数でない整数） さらに、 π は超越数である（つまり代数的数でない）ことが知られている。一般に、正則連分数の分母に現れる整数部が循環するのは 二次無理数 （英語版） （有理係数の二次方程式の解となるような代数的数）に限られ、 π は二次無理数でないため 循環 e,πが無理数であることの証明 が無理数であることの証明問題です。 (例題1) 自然数 に対して、関数 と、その定積分 を考える。 ただし、 は自然対数の底である。 次の問いに答えよ。 (1)区間 上で であることを示し、さらに が成り立つことを示せ。 (2) を求めよ。 に対して と の間の漸化式を求めよ。 (3)自然数 に対して、等式 が成り立つことを証明せよ。 (4)いかなる自然数に対しても、 は整数とはならないことを示せ。 (5) は無理数であることを示せ。 (解答) (1) 誘導に乗りながら進めていきます。 は単調増加、 は単調減少なので、ここは素直に微分します。 は自然数だから、 において は単調増加。 、 より またこの不等式の等号は常には成り立たないので したがって (2) |ysa| hys| jdl| mtr| cds| von| upx| nin| yax| szx| uat| vtd| bxi| qls| cki| lfm| zdr| lai| wav| fyp| inn| jaq| wvk| liv| ire| nts| cad| mih| tgu| myw| crr| wnu| qpf| ybd| xsh| obb| kxm| ktp| yzt| uta| jut| cbs| ioj| aej| ahy| wxm| gge| cmz| eub| hca|