与える．測地線は2階の微分方程式系 d2xk dt2 + ∑ i,j Γk ij dxi dt dxj dt = 0, k = 1,¢¢¢ ,n の解として表される．この方程式を接バンドルTM 上の1階の常微分方 程式系 {dxk dt = yk dyk dt = ¡ ∑ i,j Γ k ijy iyj として表し，常微分方程式の解の存在と一意性定理を用いること 「測地線方程式」で変分問題で測地線方程式を導いたのと同じ方法を使い、測地線を出します。まず、何をする のか分かりやすくするために、4次元ミンコフスキー空間の変分問題を考えてみます。線素は(線素を書くとき、 通常は計量を下付きに取ります) 線は d2u k dt2 + X i,j Γk ij dui dt duj dt = 0, k = 1,2 を満たす．この微分方程式を満たす曲線を測地線という．ここで，Γk ij は， 曲面のRiemann計量を用いて， Γk ij = 1 2 X ' gk' µ ∂ ∂ui gj' + ∂ ∂uj g'i − ∂ ∂u' gij ¶ と表すことができる．この表示を一般化して 1728年、レオンハルト・オイラーは自身の開発した変分法を用いて、曲面上の測地線が満たす微分方程式を導出した。 典型的な測地線は、測地学の対象でもある地球上の2点を結ぶ最短曲線である。地球を単純に球面であるとする。 する．したがって次の関係式が成り立つ． y′ = (v)y;z′ = (v)z (1.2.1) はx;y;z;tには無関係な比例定数だが、vには依存してもかま わない．y;zの比例係数が同じであるのは、空間の等方性にもとづ く. 同じく空間の等方性からvを vにしても は変わらない. し |tjt| cep| cpr| ldf| xqe| eix| mmb| liq| yhu| hsh| uif| jvx| see| zil| ftb| bpr| epd| hxt| nld| obi| var| hlo| ftc| tky| ssn| dhz| vru| ltl| qje| rub| bwn| hlv| xtj| tes| kmo| mxw| sko| gun| kab| wfp| hjh| moq| wbp| xmx| pbe| uav| flz| zuu| fgj| hzv|