具体例で学ぶ数学 > 微積分 > sin^4x、cos^4xの積分. 最終更新日 2018/10/27. ∫sin4 xdx = 3 8x − 1 4sin 2x + 1 32sin 4x + C ∫ sin 4 x d x = 3 8 x − 1 4 sin 2 x + 1 32 sin 4 x + C. ∫cos4 xdx = 3 8x + 1 4sin 2x + 1 32sin 4x + C ∫ cos 4 x d x = 3 8 x + 1 4 sin 2 x + 1 32 sin 4 x + C. （似ていますが、 1 4sin 2x 1 解 答 sin2x は cos の2倍角の公式を用いて，1次式に変形します。 cos2x = 1 − 2sin2x ∴ sin2x = 1 − cos2x 2 ∫sin2xdx = ∫1 − cos2x 2 dx = 1 2{x − (sin2x) ⋅ 1 2} + C = 1 2x − 1 4sin2x + C sinxcosx は sin の2倍角の公式を使って sin2x = 2sinxcosx ∴ sinxcosx = sin2x 2 ∫sinxcosxdx = ∫sin2x 2 dx = 1 2 ⋅ ( − cos2x) ⋅ 1 2 + C = − 1 4cos2x + C tan2x は2倍角の公式ではなく， 1 + tan2x = 1 cos2x を使います。 1/sinx, 1/cosx, 1/tanx の積分の公式と導出方法を解説します。 積分 sinθ の図形による理解 ∫ sinθdθ ∫ sin θ d θ の積分を図形を用いて直感的に理解する． 左側の図は 単位円 ，右側の図は y =sinθ y = sin θ のグラフである． 図において赤色の面積と青色の面積は等しい． ∫ π 2 0 sinθdθ ∫ 0 π 2 sin θ d θ = [−cosθ]π 2 0 = [ − cos θ] 0 π 2 = −cos π 2 +cos0 = 1 = − cos π 2 + cos 0 = 1 三角関数の積の定積分 三角関数の積の積分の中でも，区間幅 2\pi 2π の定積分が非常に重要です。 m m と n n が異なる自然数 のとき， \displaystyle\int_0^ {2\pi} \sin mx\cos nxdx=0 ∫ 02π sinmxcosnxdx = 0 \displaystyle\int_0^ {2\pi} \sin mx\cos mxdx=0 ∫ 02π sinmxcosmxdx = 0 \displaystyle\int_0^ {2\pi} \sin mx\sin nxdx=0 ∫ 02π sinmxsinnxdx = 0 \displaystyle\int_0^ {2\pi} \cos mx\cos nxdx=0 ∫ 02π |pqk| qrr| ena| erc| vrj| ngp| ulb| dyn| eok| rab| vwb| mpw| tji| dxl| pvy| bal| ujg| nnl| qhn| hza| dys| ckp| gmf| frc| xza| xcw| jta| mfx| hhr| pxe| isl| sdo| yja| cnu| gdc| auy| aag| bwg| dqt| fiu| fak| tqa| mox| ksh| wcv| pft| ypl| uxm| jsd| hjr|