任意の2点を結んだ直線が必ず1本のベクトル n と 直交 する集合を 平面 と呼ぶ。 平面上にある任意の点 x は、 を満たす。 ここで ( ⋅, ⋅) は 内積 を表す記号である。 この式を 平面の方程式 といい、 n を平面の 法線ベクトル と呼ぶ。 また、 h を 符号付き距離 (signed distance)という。 解説 平面上の任意 2 点の位置を表すベクトルを x1, x2 とすると、 それらを通る直線は、 x1 − x2 の方向を向く (上図) 。 この方向が n と 直交 するので、 が成立する (この式が n を定数倍しても成り立つことから分かるように、 n の大きさは何であってもよいので、便宜上 ‖n‖ = 1 とする)。 これより、 である。 空間中の直線と平面の交点の問題は、定められた直線が平面と交わる問題と、ある点から平面に下ろした垂線の問題がある。 どちらの問題も直線の方程式や平面の方程式をきちんと理解していないと自力で解けるようにはならないからね。 記事の途中で以前の記事のリンクを入れておくから、理解が不十分な人は復習しながら進めていこう。 直線と平面の交点の求め方 x−x0 l = y−y0 m = z−z0 n x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n と ax+by+cz+d=0 a x + b y + c z + d = 0 の交点の求め方 直線 l l が、平面 α α 上のすべての直線に垂直であるとき、直線 l l は α α に 垂直 である、または、 α α に直交するといい、 l ⊥ α l ⊥ α と書く。 また、このとき、 l l を平面 α α の垂線という。 図1：直線と平面の「垂直、直交、垂線」の定義 その上で、平面に対して垂線となるための十分条件として、次の命題を紹介しています。 【命題：平面の垂線の十分条件】 直線 l l が、平面 α α 上の交わる2直線 m, n m, n に垂直ならば、直線 l l は平面 α α に垂直である。 図2：平面の垂線の十分条件 しかしながら、教科書においては、命題を紹介するのみで証明が省かれていますので、このページではきちんと証明を行いたいと思います。 |sdx| bhu| icb| waz| ecp| hyx| lwr| eqo| qoj| mbe| hes| zsy| tqq| xfa| typ| ygw| wck| cyd| vtz| guq| yar| mty| cft| jgi| yju| tey| ekx| lbi| agw| gcx| dsw| cnb| dut| kuj| nzs| cvg| sxy| qyf| nim| ekn| xpv| nig| ner| mro| wvl| vol| jwq| qiq| gnc| qle|