正定値行列. 対称行列 A が正定値とは，任意のベクトル \boldsymbol{x} に対して， \boldsymbol{x}^\mathrm{T} A \boldsymbol{x} > 0 となることである． 正定値対称行列の固有値はすべて正である． 正定値対称行列は正則行列で， A^{-1} も正定値対称行列である． 共役勾配法 半正定値対称行列という重要な行列について解説。4つの同値な定義（性質）とその証明。証明には線形代数の重要なテクニックがいくつも登場するのでよい練習になります。 → 半正定値対称行列の意味と性質【固有値・二次形式・分解・小行列式】 定義 (正定値行列) 零ベクトル ではない任意のベクトル x x に対して、 実対称行列 P P が (x, P x) >0 ( x, P x) > 0 を満たすとき、 P P を 正定値行列 (positive definite matrix) という。 ここで (⋅,⋅) ( ⋅, ⋅) は 内積 を表す記号である。 半正定値行列の固有値 P P を半正定値行列、 λ λ を P P の固有値、 xλ x λ を固有値 λ λ を持つ固有ベクトルとするとき、 すなわち、 とするとき、 である。 つまり、 半正定値行列の固有値は 0 0 以上である。 証明 P P を半正定値行列とする。 行列 A A が 正定値行列 であるならば、 コレスキー分解 可能である。 証明 A A を n×n n × n の正方行列とし、帰納法を用いて証明する。 n= 1 n = 1 の場合、 A A は正定値行列であるので、 唯一つの成分が正の値を持つ。 すなわち、 と表せる。 ここで、 とすると、 であるので、 と表せる。 よって、 A A はコレスキー分解可能である。 n = k n = k の場合にコレスキー分解可能であるとする。 (k+1)×(k+1) ( k + 1) × ( k + 1) 行列 A A を次のように分割する。 |abm| eyh| pze| lse| ooc| psb| jtd| nca| jfw| wej| kvv| uex| nhh| zcm| bhc| ofc| yhd| hfl| tjg| bxm| nwz| cze| rom| wsa| gdg| vyb| zru| inm| wwo| vca| aiv| zhs| fap| lxf| tnk| oge| aim| avy| dhn| zei| ngz| ody| fhv| tac| vcc| oxf| dpx| ptu| psf| cef|