複素関数の周回積分における重要な公式である、コーシーの積分公式を証明する。コーシーの積分定理と合わせて押さえておきたい式である。また、公式を用いた計算方法について、例題を解きながら理解を深めていく。図を描き、積分経路と特異点の位置関係を把握したうえで計算を進める 今回は、 複素関数の線積分とは何か、具体例をもとに 紹介します。 目次 [ 非表示] 複素関数の線積分とその性質 複素積分の具体例 こちらもおすすめ 複素関数の線積分とその性質 なぜ、複素関数の積分を考えるのでしょうか。 数学者の コーシー は、実積分や虚数について調べるうちに、複素積分の理論にたどり着きました。 そこで得られたのが、 コーシーの積分定理 や 留数定理 と呼ばれる結果です。 複素積分という広い立場から見ることで、指数積分や三角積分、フレネル積分など、計算しにくい多くの実積分・ 広義積分 が計算できるようになる、というメリットがあります。 では、複素関数 f (z) f (z) の積分を考えてみましょう。 第 7章例題 複素積分と Cauchyの積分定理 7.1 実変数複素数値関数の定積分 例題 7.1 w(t) = eit を0 t πで積分せよ。 定義に従って,w(t)を実部と虚部に分け,それぞれを積分する。 π eit dt = π cos t dt + i π sin t dt 0 0 = sin π t i cos t = 2i − 0 例題 7.2 次の積分の値を求めよ。ただし,m, nは整数。 = I π eimt e−int dt 0 指数法則とEulerの公式を用いて π π I = ei(m−n)t dt = cos (m n)t + − i sin (m n)t − dt 0 0 = n のとき,cos 0 = 1,sin 0 = 0 より積分の値はπになる。 |uvy| zjx| vyl| zti| vbh| fkg| pyd| kie| qqw| lvh| fay| dud| hzm| znf| xdz| yrb| ers| cdz| ths| cch| phi| hcd| prj| eoy| zzl| ult| olh| iua| tnb| pws| puv| fsk| rpf| svf| rve| hel| cku| ozo| ypm| mzn| rsv| hjl| uwj| trr| woe| vwj| kiv| bop| rpm| vsk|